2. Applications of Differentiation - 1

 2.1 Maximum and Minimum Values

1.  Absolute and Local Extreme Values

정의 

absolute extreme value

c를 f 함수의 D의 도메인이라고하자. 그러면

$$ 모든 x에 대하여 f(c) \geq f(x)를 만족한다면 f(c)는 absolute maximum이다. $$

$$ 모든 x에 대하여 f(c) \leq f(x)를 만족한다면 f(c)는 absolute mimimum이다. $$

local extreme value

c에 가까운 값 x 에 대하여

$$ f(c) \geq f(x)를 만족한다면 f(c)는 local maximum이다. $$

$$ f(c) \leq f(x)를 만족한다면 f(c)는 local mimimum이다. $$

2. Critical Numbers and the Closed Interval Method

만약 함수 f가 c에서 local maximum or minimum이고 f가 c에서 미분가능하다면 f'(c) = 0이다.

$$ f'(c) = \lim_{h \to 0+}{f(c + h) - f(c) \over h} = \lim_{h \to 0-}{f(c + h) - f(c) \over h} \geq 0 $$

 

critical number

정의 - 만약 함수 f의 critical number을 c라고 하면 f'(c) = 0 or f'(c) does not exist

ex)

 

 

 2.2 The Mean Value Theorem

1. Rolle's Theorem

함수 f 에 대해 다음 3가지 조건을 만족하면 

1. f is continous on the closed interval [a, b]

2. f is differntiable on the open interval (a, b)

3. f(a) = f(b)

그러면 적어도 하나의 점 c in (a, b), f'(c) = 0을 가진다.

2. The Mean Value Theorem

함수 f에 대해 다음 두가지 조건을 만족하면

1. f is continous on the closed interval [a, b]

2. f is differntiable on the open interval (a, b)

그러면 적어도 하나의 점 c in (a, b),

$$ f'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a} $$

를 가진다.

 

 

 2.3 What Derivatives Tell Us about the Shape of a Graph

1. What Does f' & f'' Say about f?

$$ \begin{align} & If\ f'(x) > 0\ on\ an\ onterval,\ then\ f\ is\ increasing\ on\ that\ interval \\ & If\  f'(x) < 0\ on\ an\ onterval,\ then\ f\ is\ decreasing\ on\ that\ interval \\& If\ f''(x) > 0\ on\ an\ onterval,\ then\ the\ graph\ of\ f\ is\ concave\ upward\ on\ that\ interval \\ & If\  f''(x) < 0\ on\ an\ onterval,\ then\ the\ graph\ of\ f\ is\ concave\ downward\ on\ that\ interval\ \end{align} $$

 

 

 2.4 Limits at Infinity; Horizontal Asymptotes

1. Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes

f 를 (a, ∞)에서 정의된 함수라고 하자 그러면

$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = L $$

은 함수 f가 충분히 큰 x에 대해 L로 근사함을 나타낸다.

 

2. Precise Definition(Horizontal Asymptotes)

Precise Definition of a Limit infinity 

f 를 (a, ∞)에서 정의된 함수라고 하자 그러면

$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = L $$

은  모든 ε에 대하여 (ε > 0) 응답하는 N값이 존재함을 의미하다.

$$ if\ x > N\ then \left\vert f(x) - L \right\vert < ε $$

 

3. Precise Definition(Infinity)

Precise Definition of an infinty Limit at Infinity

f 를 (a, ∞)에서 정의된 함수라고 하자 그러면

$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty $$

은  모든 양수 N에 대하여 M값이 존재함을 의미하다.

$$ if\ x > N\ then\ f(x) > M $$

 

 

출처 : 사용된 이미지 James Stewart, Calculus 9th Edition