1. Derivatives - 미분

1.1 Derivatives and rates of change

1. Tangents

곡선 y = f(x)의 점P(a, f(a))를 지나는 직선의 기울기(tangent line)의 정의는

$$ m=\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$ 이다

위 식의 다른 표현으로는 h = x - a, 그러면 x = a + h로 표현할 수 있다.

$$ m=\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

2. Derivatives

a에서 함수 f(x)의 극한이 존재한다면 f의 a에서의 미분을 f'(a)로 정의하고 다음과 같이 표현한다.

$$ f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

tangent line to y = f(x) at (a,f(a)) is the line through (a,f(a)) whose slope is equal to f'(a), the derivative of f at a.

3. Rates of change

[x1, x2] 사이의 기울기를 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ \triangle x = x_2 - x_1 $$

$$ \triangle y = f(x_2) - f(x_1) $$

$$ \frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$

여기에서 x1과 x2가 한없이 가까워진다면 위의 식은 아래와 같이 다시 표현할 수 있다.

$$  \lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$

 

1.2 The Derivative as a Function

만약 f가 a에서 미분가능하다면 f는 a에서 연속이다.

증명 

$$ f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

$$ \begin{align} \lim_{x \to a}[f(x) - f(a)] &=\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}(x - a) \\ &= \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\cdot\lim_{x \to a}(x - a)\\ &= f'(a)\cdot 0 = 0 \end{align} $$

위의 식을 활용하여

$$ \begin{align} \lim_{x \to a}f(x) &=\lim_{x \to a}[f(a) + (f(x) - f(a)] \\ &= f(a) + 0 = f(a) \end{align} $$

 

1.3 Derivatives of Trigonometric Functions

f(x) = sin(x) 일때 f'(x) = cos(x)이다. 이에 대한 증명은 진행하겠으나 다른 삼각함수들에 대한 증명은 아래와 같이 유도하면 되는 것이므로 생략하도록 하겠다.

증명

$$ \begin{align}f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{sin(x + h) - \sin x}{h}\\  &= \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\  &= \lim_{h \to 0}\left[\frac{\sin x \cos h - \sin x}{h} + \frac{\cos x \sin h}{h}\right] \\  &= \lim_{h \to 0}\left[\sin x\left(\frac{\cos h - 1}{h}\right) + \cos x \left(\frac{\sin h}{h}\right)\right]\\ &= \lim_{h \to 0}\sin x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\cos h -1}{h} + \lim_{h \to 0}\cos x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} \end{align} $$

$$ {d \over dx}(\sin x) = \cos x $$

위의 $$ \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 $$ 인 부분은 아래에서 따로 증명하도록 하겠다

 

삼각함수의 미분

$$ \begin{align} &{d \over dx}(\sin x) = \cos x   \\&{d \over dx}(\cos x) = -\sin x \\&{d \over dx}(\tan x) = \sec^2 x \\&{d \over dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \\&{d \over dx}(\sec x) = \sec x \tan x \\&{d \over dx}(\cot x) = -\csc^2 x \end{align} $$

 

two special trigonometric limit

$$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1 $$

증명

$$ \left\vert BC \right\vert < \left\vert AB \right\vert < arc AB $$

$$ \sin \theta < \theta \rightarrow \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 $$

$$ \begin{align} \theta = arc AB &< \left\vert AE \right\vert + \left\vert EB \right\vert  \\  &< \left\vert AE \right\vert + \left\vert ED \right\vert \\ &= \left\vert AD \right\vert = \left\vert OA \right\vert \tan \theta \\ &=\tan \theta  \end{align} $$

$$ \theta < \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$

결론 

$$ \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 $$

$$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1 $$

아래의 식은 위의 결과를 통해 증명이 가능하므로 생략하도록 하겠다

$$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\cos \theta - 1}{\theta} = 0 $$

 

1.4 Chain Rule

chain rule

 만약 g가 x에서 미분가능하고 f가 g(x)에서 미분가능하면

$$ F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

 만약 y = f(u) 이고 u = g(x) 이면서 둘다 미분 가능한 함수라고 하면

$$ {dy \over dx} = {dy \over du}{du \over dx} $$

위의 chain rule로 부터 아래 지수함수의 미분을 알 수 있다.

$$ {d \over dx}(u^n) = nu^(n-1){du \over dx} $$

$$ {d \over dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^(n-1) \cdot g'(x) $$

 

1.5 Implicit Differentiation

implicit function

한국어로 표현하면 내포함수이다. 하나의 함수에 다른 함수가 내포되어 있다는 의미로 받아들이면 이해가 쉬워진다.

예를들어 

$$ \begin{align} & x^2 + y^2 = 25 \\ & y = \pm \sqrt{25 - x^2} \end{align} $$

으로 내포된 함수를 확인할 수 있다. 그림으로 표현하면 아래와 같다.

다른 예로 아래와 같은 경우도 표현이 가능하다.

Implicit Differentiation

다행히도 우리는 함수를 쪼개어 x에대해 미분을 할 필요는 없다. 내포함수에 대해서는 암묵적으로 각각을 x에 대해 미분 가능한 함수로 보고 문제를 푼다.

ex) $$ x^2 + y^2 = 25 $$ 를 (3,4)에 대해 접선을 구한다면 아래와 같다

$$ {d \over dx}(x^2 + y^2) = {d \over dx}(25)  $$

$$ 2x + 2y{dy \over dx} = 0 $$

$$ {dy \over dx} = -{x \over y} $$

$$ y - 4 = -{3 \over 4}(x - 3) $$

 

1.6 Linea Approximations and Differentials

이단원 내용은 미분가능한 함수에서 함수의 점에서의 점근선을 구하는 것이다. 매우 간단한 내용이므로 관련식만 아래에 적어두고 따로 증명이나 예저를 풀지는 않도록 하겠다.

f(x)의 (a,f(a))에서의 tangent line의 함수 L(x)는

$$ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $$

이것은 linearization(선형화)라고 불린다.

$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) $$

이것은 linear approximation 또는 tangent line approximaion of f at a 라고 불린다.

 

 

출처 : 사용된 이미지 James Stewart, Calculus 9th Edition