알고리즘 복잡도와 점화식: 개념과 성능 평가

 1. 복잡도(Complexity)란?

알고리즘의 복잡도는 작성한 알고리즘이 얼마나 복잡한지를 평가하는 기준이다. 일반적으로 알고리즘의 성능을 분석할 때 시간복잡도와 공간복잡도를 고려한다.

 

1.1 시간복잡도(Time Complexity)

시간복잡도는 프로그램의 실행 시간이 입력 크기에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 척도이다. 이는 알고리즘이 수행하는 연산의 개수를 기반으로 측정된다.

 

1.2 공간복잡도(Space Complexity)

공간복잡도는 알고리즘이 실행되는 동안 필요한 메모리 공간의 양을 의미한다. 이는 프로그램이 실행될 때 유지해야 하는 변수, 데이터 구조, 호출 스택 등의 크기에 의해 결정된다.

 

 2. 차수와 Big O 표기법

알고리즘의 수행 시간은 기본 연산의 빈도수에 의해 결정되며, 이를 차수(degree)라고 한다. 보통 Big O 표기법을 사용하여 알고리즘의 복잡도를 표현한다.

 

 3. 점화식(Recurrence Relation)

점화식은 어떤 함수를 자신과 동일한 함수의 이전 결과를 이용하여 나타내는 수학적 관계식이다. 재귀적으로 정의된 알고리즘의 복잡도를 분석할 때 유용하게 사용된다.

 

3.1 점화식 예제

• 팩토리얼의 점화식: f(n) = n × f(n-1)
• 피보나치 수열의 점화식: f(n) = f(n-1) + f(n-2)

 

 4. 알고리즘의 점근적 복잡도 표현 방법

알고리즘의 성능을 분석할 때, 점근적 복잡도 표현법을 사용하여 입력 크기에 따른 수행 시간의 경향을 나타낸다.

 

4.1 Θ(세타) 표기법

• 특정한 함수의 증가율과 정확히 일치하는 모든 함수의 집합을 나타낸다.

 

4.2 Ω(오메가) 표기법

• 최소한 이만큼의 시간이 걸린다는 의미를 가진다.

 

4.3 O(Big O) 표기법

• 최악의 경우 수행 시간의 상한을 나타내는 표기법이다.

 

 5. 알고리즘의 복잡도 종류

Big O 표기법을 사용하여 알고리즘의 복잡도를 구분하면 다음과 같다.

복잡도	의미	처리 시간(연산 횟수)
O(1)	한 번에 처리	1
O(log n)	로그 시간에 처리	log₂(n)
O(n)	입력 크기만큼 처리	n
O(n log n)	효율적인 정렬 알고리즘에서 나타나는 복잡도	n log₂(n)
O(n^2)	이중 루프를 사용하는 알고리즘	n²
O(2^n)	지수적으로 증가하는 알고리즘	2ⁿ
O(n!)	매우 비효율적인 알고리즘	n!

 

 6. 결론

알고리즘을 설계할 때는 복잡도를 고려하여 최적화하는 것이 중요하다. 특히 Big O 표기법을 활용하여 알고리즘의 성능을 평가하고, 효율적인 알고리즘을 선택하는 것이 핵심이다. 점화식은 재귀적인 알고리즘을 분석하는 데 유용한 도구이며, 이를 통해 알고리즘의 시간복잡도를 보다 쉽게 이해할 수 있다.